Gallery Posets of Supersolvable Arrangements

We introduce a poset structure on the reduced galleries in a supersolvable arrangement of hyperplanes. In particular, for Coxeter groups of type A or B, we construct a poset of reduced words for the longest element whose Hasse diagram is the graph of reduced words. Using Rambau’s Suspension Lemma, we show that these posets are homotopy equivalent to spheres. We furthermore conjecture that its intervals are either homotopy equivalent to spheres or are contractible. One may view this as a analogue of a result of Edelman and Walker on the homotopy type of intervals of a poset of chambers of a hyperplane arrangement. Résumé. Nous introduisons une structure d’ensemble ordonné sur les galeries réduites dans un arrangement d’hyperplans supersolvable. En particulier, pour les groupes de Coxeter de type A ou B, nous construisons un ensemble ordonné de mots réduits pour l’élément le plus long dont le diagramme de Hasse est le graphe de mots réduits. En utilisant le lemme de suspension de Rambau, nous montrons que ces ensembles ordonnés sont homotopiquement équivalents a des sphères. Nous conjecturons en outre que ses intervalles sont soit homotopiquement équivalents a des sphères ou bien ils sont contractile. On peut considérer cela comme un analogue d’un résultat d’Edelman et Walker sur le type d’homotopie d’intervalles d’un ensemble ordonné des chambres d’un arrangement d’hyperplans.